9 Les formules d’Euler et celle de De Moivre
\[ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\zbar}{\overline{z}} \newcommand{\RE}{\textrm{Re}\,} \newcommand{\IM}{\textrm{Im}\,} \newcommand{\Arg}{\textrm{Arg}\,} \newcommand{\iu}{\textrm{i}} \newcommand{\eu}{\textrm{e}} \newcommand{\boitevide}{\square} \]
Tenons-nous-le pour dit : Euler a démontré une pléiade de formules durant sa vie. Dans cette section, nous faisons allusion à certaines formules qu’il a établies entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques. Ces dernières apparaissent dans son ouvrage Introductio in analysin infinitorum, publié en 1748.
Proposition 9.1: Formules d’Euler
Preuve. Nous avons précédemment établi (voir le théorème 8.1) que \[\eu^{\iu x}=\cos x+\iu\sin x\] pour tout \(x\in\R\). En remplaçant \(x\) par \(\theta\) dans cette équation, nous obtenons que \[\begin{equation} \eu^{\iu\theta}=\cos \theta+\iu\sin \theta.~(\star) \end{equation}\] Aussi, en remplaçant \(x\) par \(-\theta\) dans l’équation du théorème 8.1 nous obtenons que
\[\begin{equation}\eu^{-\iu\theta}=\cos (-\theta)+\iu\sin (-\theta). \end{equation}\]
En observant que la fonction \(\cos\) est paire et que la fonction \(\sin\) est impaire, on en déduit que \[\begin{equation} \eu^{-\iu\theta}=\cos \theta-\iu\sin \theta.~(\star\star) \end{equation}\]
Ainsi, en observant que la somme des membres de gauche des équations \((\star)\) et \((\star\star)\) est égale à la somme des membres de droites de ces mêmes équations, on obtient que \[\eu^{\iu\theta}+\eu^{-\iu\theta}=2\cos\theta.\] En divisant par \(2\) chaque membre de la dernière équation, nous avons montré la première identité. Pour obtenir la seconde identité, on doit plutôt soustraire les équations \((\star)\) et \((\star\star)\). On obtient ainsi que \[\eu^{\iu\theta}-\eu^{-\iu\theta}=2\iu\sin\theta.\] En divisant par \(2\iu\), nous obtenons la deuxième identité de la proposition 9.1.
Une fonction \(f\) est dite paire si elle vérifie \(f(-x)=f(x)\) partout sur domaine de définition, et impaire si elle vérifie plutôt \(f(-x)=-f(x)\). La composition des fonctions paires et impaires se comporte comme la parité habituelle pour l’addition et la multiplication des nombres entiers.
Proposition 9.2: Formule de De Moivre
Preuve. Puisque l’exponentielle d’une somme est égale au produit des exponentielles, nous avons que \[\eu^{\underbrace{\iu\theta+\iu\theta+\ldots+\iu\theta}_{n \text{~fois}}}=\underbrace{\eu^{\iu\theta}\cdot\eu^{\iu\theta}\cdot\ldots\cdot\eu^{\iu\theta}}_{n\text{~fois}}.\] C’est donc dire que \[\eu^{n\theta\iu}=\left(\eu^{\iu\theta}\right)^n.\] En utilisant le théorème 8.1 pour exprimer les deux membres de cette équation à l’aide des fonctions \(\sin\) et \(\cos\), nous obtenons que \[\cos (n\theta)+\iu\sin (n\theta)=(\cos\theta+\iu\sin\theta)^n,\] ce qui est précisément ce que nous voulions montrer.
La formule de De Moivre est particulièrement utile pour exprimer les fonctions \(\cos n\theta\) et \(\sin n\theta\) en fonction des puissances des fonctions \(\sin \theta\) et \(\cos\theta\).
Exemple 9.1: Applications de la formule de De Moivre
En développant le membre de gauche, nous obtenons que \[\cos^2\theta-\sin^2\theta+2\iu\sin\theta\cos\theta=\cos (2\theta)+\iu\sin (2\theta).\] Puis, en égalant parties réelle et imaginaire, on déduit que \[\begin{align*} \cos^2\theta-\sin^2\theta&=\cos(2\theta),\\ 2\sin\theta\cos\theta&=\sin (2\theta). \end{align*}\] Ces équations sont vraies quelle que soit la valeur de \(\theta\). Ce sont des identités trigonométriques utiles dans différents contextes. Finalement, en utilisant l’identité trigonométrique \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\) il est possible de réécrire certaines identités obtenues avec la formule de De Moivre. Par exemple, l’identité \(\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta\) entraîne les deux identités ci-dessous: \[\begin{align*} \cos(2\theta)&=1-2\sin^2\theta,\\ \cos(2\theta)&=2\cos^2\theta-1. \end{align*}\]